[CG]

충주예성여고

848-9861~3

교과통합 수업동영상

www.yesung.org

예성여자고등학교

교과 통합 수업

과목: 수학

학년: 1학년 3반

교사: 최 영 광

일시: 2010. 5. 28

[Video]

학생: 차렷. 경례. 안녕하세요?

선생님: 그래~ 처음 시작하기 전에 학습목표 읽고 시작하겠습니다.

학생: 일정한 수의 그래프를 알고 자신의 인생그래프를 작성해 봄으로써 자아에 대한 깊은 이해를 할 수 있다.

선생님: 이번 시간에 뭘 그려보겠다는 거야?

학생: 인생그래프.

선생님: 인생그래프를 그려보도록 하겠어요. 하기 앞서서 지난 시간에 배웠던 1차함수와 2차함수에 대해서 확인작업을 해보자. 우선 첫 번째 1차함수의 기본형 어떻게 생겼죠? y는 ax+b. 이 때 a는 기울기, b는 y의 절편이라고 합니다. 이때 기울기 값은 어떻게 구하지? x변화량 분에 y변화량. y절편값은 x에 0을 넣으면 구할 수 있어요. 그 다음에 2차함수의 표준형도 알아보도록 하겠습니다. 2차함수의 표준형은 y=ax-b. 꼭지점의 좌표를 p, q라고 정해놓고 말해봅시다. 그러면 y=a(x-p) ²+q. 여기서 말하는 꼭지점은 p, q가 되겠습니다. 그리고 이 때 a의 값에 따라서 달라지는데, a의 값이 양수일 때는 아래로 볼록이죠? a의 값이 음수일 때는 위로 볼록인 형태가 되겠습니다. 여기까지 전시간에 1차함수, 2차함수의 기본적인 내용을 살펴보았습니다. 그렇다면 2차함수가 일상생활에서 얼마나 사용되고 있는지 보겠습니다. 첫 번째는 볼록렌즈입니다. 볼록렌즈는 돋보기예요. 여러분 어렸을 때 돋보기로 종이 태우고 그랬죠? 선생님은 개미를 태웠던 게 생각이 나네요. 그만큼 볼록렌즈의 위력이 강합니다. 그 볼록렌즈가 어떻게 빛 에너지를 받아서 열에너지로 만드는지 과정을 알려주겠어요. 칠판에 선생님이 다시 그려줄게요. 볼록렌즈가 이렇게 있고 햇빛이 이렇게 비칠 때 햇빛이 왔다가 다시 반사 돼서 위로 올라갑니다. 그리고 포물선에는 항상 초점이 있어요. 반사된 빛이 다시 포물선에 의해서 한곳으로 모입니다. 어느 쪽에 빛을 받아도 한 점으로 모이는 것을 초점이라 그래요. 따라서 빛이 포물선에 의해서 초점에 모여서 열에너지로 바뀌게 되는 것입니다. 이것도 2차함수의 포물선을 이용한 예입니다. 두 번째는 손전등이에요. 손전등은 앞으로 빛이 직진해서 나가죠? 하지만 옛날의 호롱불이나 촛불은 어디까지만 보여요? 자기 불빛 근처에서만 보이죠? 그것을 획기적으로 바꾼 것이 바로 포물선으로 생긴 반사경입니다. 손전등을 보면 은색의 반구 모양으로 되어 전구를 감싸고 있는 것이 바로 반사경입니다. 아까는 빛이 초점으로 모였지만 반대로 전구를 거꾸로 초점에다가 놓으면 빛이 전체적으로 퍼져나가게 됩니다. 그러면 빛이 발생해서 직진도 하지만 반사가 되어서 더 멀리 볼 수 있게 됩니다. 다음에 천체망원경. 멀리 보려면 뭐가 필요해요? 렌즈가 필요하죠. 이것은 몇 센티미터가 아니라 미터 단위예요. 그러면 유리를 만드는 것이 힘들겠죠? 이것은 빛이고 여기에 반사경이야. 반사경 자체를 오목하게 수은으로 만들어요. 여러분 밥그릇에 물 담아서 돌리면 물이 가운데가 움푹 파이면서 바깥으로 돌죠? 광고에 소주병을 돌려서 회오리 만드는 광고 봤어요? 그것처럼 원심력을 이용해서 가운데가 움푹 파인 반사경을 만들어집니다. 또 한가지는 이것은 직경이 2미터가 넘는 렌즈를 만드는 과정입니다. 그냥 깎아서 만들면 정교하게 가능할까요? 어딘가 모르게 굴곡이 생기겠지? 그래서 이것도 회전체를 이용해서 급속으로 유리를 녹였다가 급냉해서 이런 회전체 모양을 만드는 겁니다. 즉, 렌즈자체를 볼록하게 만드는 것이 초점입니다. 너희들이 천문학 계통으로 가면 더 자세히 배울 수 있어요. 그 다음에 태양열발전기. 굉장히 아이디어가 뛰어난 발전기죠. 햇빛을 그냥 받는 게 아니고요, 햇빛을 받으면 포물선 모양의 반사경으로 모든 빛을 한곳으로 모아줍니다. 초점에 해당되는 온도가 1000도 가까이 된다고 하네요. 고열에너지를 이용해서 터빈을 돌려 발전기로 쓸 수 있어요. 볼록렌즈 하나의 아이디어로 굉장히 많은 곳에 사용되는 걸 알 수 있겠죠? 그 다음에 태풍입니다. 태풍은 적도에서 발상하게 되는데, 태풍은 자연적으로 대류현상에 의해서 북상하게 됩니다. 처음에는 북동 무역풍에 의해서 일찍 선으로 올라가야 하지만 옆으로 휘어집니다. 30도를 구분으로 해서 편서풍으로 바뀌어요. 지구의 자전이나 대류현상에 의해서. 그래서 편서풍에 의해서 이렇게 휘어지게 됩니다. 우리나라는 편서풍에 해당이 되죠. 그래서 태풍의 자취가 제주도에서 남동쪽으로 향해서 일본을 경유해서 나가게 돼요. 실질적으로 잘 보시면, 이렇게 휘어지는 것이 포물선에 유사하다고 합니다. 여러분이 기상학자라면 이 태풍이 앞으로 어떻게 진행될 것인지 미리 예측할 수 있겠죠? 기압이나 여러 변수가 있지만 포물선 자체 식을 직접 구해서 태풍의 진행방향을 예측을 하는 거에요. 단순하게 이쪽으로 가겠다 하는 게 아니라 방정식으로 모양을 확인할 수 있다. 그 다음에는 불꽃이에요. 불꽃 튀게 되면 항상 위로 올라갔다가 떨어지면서 사라지죠? 이 불꽃은 각도에 따라서 위로 바로 솟는 건지, 뉘어서 솟는지가 다르고요, 화약의 차이에 따라서 높이가 다양하죠. 이것도 포물선을 이용해서 어느 정도의 힘이 주어졌을 때 각도와 어느 지점에서 폭발할 것인지를 폭발 전문가들이 만드는 겁니다. 포물선의 식을 활용할 수 밖에 없습니다. 그 다음에 분수대. 분수대에 물이 떨어지는 각도가 있죠? 이것도 수압의 세기를 활용해서 각도를 조절해서 건축물을 만듭니다. 그 다음에 어느 한 선수가 각도에 따라서 공을 찼을 때 도달하는 비거리를 보여주고 있어요. 같은 힘을 주었을 때 몇 도에서 가장 멀리 나가요? 45도. 기술, 감각이 필요하겠지만 각도에 따라서 달라지는 것을 안다면 충분히 활용할 수 있겠죠? 운동선수가 수학을 활용하면 더 잘할 수 있을 것 같아요. 그 다음에 건축물에 관한 건데 여기에 포물선 모양이 보입니까? 포물선의 형태가 일반적인 직선형태의 다리보다 안정적이라고 합니다. 옛날시대에도 아치형태를 통해서 힘의 압력을 분산시켜서 안정적인 건축물을 만들었습니다. 2차함수의 포물선을 이용해서 건축물, 기상, 천문 분야에 활용이 가능합니다. 이 정도면 2차함수의 세계에 대해서 눈의 뜨이나요? 우리가 실생활에 이용된 것을 찾아봤습니다. 이번 시간에 인생그래프를 작성하기에 앞서서 여러분들의 사건을 기록한 기록지가 있었죠? 그것을 나와서 발표를 해보겠습니다. 발표할 친구? 진아와 수정이 나와볼까요? 자, 여러분들 친구가 적을 것을 경청하는 것도 중요합니다. 어떻게 이 친구들이 인생을 살아왔는지 살펴봅시다. 먼저 4세.

학생A: 4세. 엄마가 태어난 동생만 좋아함. 느낌은 짜증남. 만족도 50%.

선생님: 동생이 태어나서 짜증났다고 하네요. 소정이 4세.

학생B: 4세. 유치원에서 발레를 했던 일. 느낌은 좋았음. 만족도 30%.

선생님: 좋습니다. 그럼 5세.

학생A: 5세. 어린이 집을 다니게 됨. 느낌은 기대감. 만족도 10%.

선생님: 어린이 집을 다니게 되어서 좋았다고요. 다음 소정이.

학생B: 5세. 놀이터에서 오빠의 스티커를 잃어버림. 느낌은 당황. 만족도 -80%.

선생님: 네, 얘들아 자신감 있게~ 자 6세.

학생A: 6세. 처음으로 친구가 생김. 느낌은 떨림. 만족도 40%.

학생B: 6세. 큰 벌에 쏘인 일. 느낌은 아팠음. 만족도 -100%.

선생님: 큰 벌에 쏘여서 만족도가 마이너스 100%까지 떨어졌네요. 다음 7세.

학생A: 7세. 동생이 칼 때문에 손을 꿰매게 됨. 느낌은 무서움. 만족도 -80%

학생B: 7세. 학예회 때 발레를 했는데 다리가 안 찢어져서 주인공을 못한 일. 느낌은 아쉬움. 만족도 -40%.

학생A: 8세. 초등학교에 입학하게 됨. 느낌은 떨렸음. 만족도 30%.

학생B: 8세. 초등학교에 입학하게 됨. 느낌은 좋음. 만족도 90%.

학생B: 9세. 가야금을 배우는데 아침 수업에 맨날 빠짐. 느낌은 좋음. 만족도 30%.

학생A: 10세. 제일 좋은 담임선생님을 만났던 일. 느낌은 좋음. 만족도 60%.

학생B: 11세. 채팅에서 친구 욕을 하다가 오빠한테 걸려서 맞음. 느낌은 아팠음. 만족도 -100%.

학생A: 12세. 피아노에서 상을 탄 일. 느낌은 행복함. 만족도 80%.

학생B: 12세. 피아노대회에서 상을 탔던 일. 느낌은 행복함. 만족도 90%.

학생A: 13세. 처음으로 핸드폰이 생긴 일. 느낌은 설렘. 만족도 60%.

학생B: 13세. 외할아버지를 만나러 캐나다에 다녀옴. 느낌은 좋음. 만족도 100%.

학생A: 14세. 처음으로 교복을 입게 된 일. 느낌은 기대 반 걱정 반. 만족도 70%.

학생B: 14세. 방학 때 일본과 필리핀을 갔다 온 일. 느낌은 좋음. 만족도 100%.

학생A: 15세. 성적이 떨어진 일. 느낌은 슬픔. 만족도 -50%.

학생B: 15세. 앞머리를 잘라서 거의 없어진 일. 느낌은 슬픔. 만족도 -80%.

학생A: 16세. 동생이 맹장으로 병원에 입원함. 느낌은 걱정됨. 만족도 -40%.

학생B: 16세. 선도부였을 때 선생님들 몰래 많이 나갔던 일. 느낌은 좋음. 만족도 80%.

학생A: 17세. 처음으로 비행기를 타본 일. 느낌은 설렘. 만족도 70%.

학생B: 17세. 고등학교에 입학한 일. 느낌은 떨림. 만족도 0%.

선생님: 지금 친구들 얘길 잘 들었죠? 여러분도 다 작성했죠? 그럼 오늘 인생그래프를 어떻게 작성할지 방법을 제시해줄게요. 같이 봅시다. 이제 활동지에 내 인생에서 7가지 사건은 기가 막히다, 라고 생각되는 것을 선택해보세요. 지금 나눠주는 종이는 그래프를 그리는 활동지입니다. 다 선택했나요? 선생님이 7가지를 가지고 예시를 만들어봤어요. 처음 6살 때 만족도가 몇 프로예요?

학생: 마이너스 60%.

선생님: 6살 때 마이너스 60이군요. 두 번째 사건은 8살 때 40%의 만족도를 얻었어요. 이 상황을 어떻게 그래프로 나타낼지 생각해봅시다. 그럼 첫 번째 점이 6콤마 마이너스 60이 되겠죠? 그러면 두 번째 점은 8콤마 40이 되겠어요. 이 두 점을 연결하는 방법은 몇 가지가 나올 수 있을 것 같아? 점과 점을 연결하는 직선은 무조건 한가지. 이 직선의 직선식을 만들어보겠어요. 우리가 제일 먼저 무엇을 구해야 할까요? 기울기. 기본형은 y는 ax+b. 여기서 기울기 a값은 x의 변화량 8에서 6을 뺀 수를 y의 변화량 40에서 마이너스 60을 뺀 것으로 나누면 2분의 100. 그래서 a값은 50. 그래서 식을 다시 쓰면 y는 50x+b. 직선은 두 점을 지나니깐 두 점 중에서 하나를 대입해봅시다. 8콤마 40을 대입할게요. x값이 8. y값이 40. 그래서 b값을 마이너스 360이 구해지네요. 그러면 직선의 방정식은 y=50x-360이라고 표현할 수 있겠네요. 그 다음에는 2차함수를 이용해봅시다. 2차함수는 몇 가지가 나올 수 있을까요? 두 가지. 첫 번째 위로 볼록인 형태를 그려봅시다. 꼭지점 8콤마 40을 가 포물선을 그려볼게요. 이 포물선은 6살 때 갑작스런 변화가 있었는데 대신 7살 이후로는 완만하게 좋아지는 형태네요. 곡선그래프의 방정식을 구해보도록 하겠습니다. 2차함수의 기본형은 y=a(x-p) ²+q. 이 때 꼭지점의 좌표 8콤마 40을 넣어볼게요. y=a(x-8) ²+40. 이 곡선그래프는 몇 콤마 몇을 지나요? 6콤마 마이너스 60. 이것을 대입하면 a값이 마이너스 25가 되네요. 다시 정리하면 y=-25(x-8) ²+40가 되겠네요. 이번에는 6살 때에는 밑바닥으로 천천히 가다가 갑자기 8살 때 확 상승하는 형태가 있을 수도 있겠죠? 그럼 아래로 볼록인 모양이 되겠네요. 이 식의 꼭지점의 좌표는 6콤마 마이너스 60이 되겠네요. 식을 정리하면 y=a(x-6) ²-60. 이 식에 나머지 점을 대입하면 a값은 25. 최종적인 식은 y=25(x-6) ²-60. 우리가 3가지 형태로 그래프를 그려봤어요. 선생님이 그린 것을 같이 봅시다. 지금은 위로 볼록인 형태죠? 꼭지점은 8콤마 40. 두 번째 그래프는 직선으로 그렸어요. 여러분이 작성할 때 1년만에 만족도가 변한 상태이면 곡선으로 표현을 하고 2년 이상일 경우에는 아래로 볼록이나 위로 볼록으로, 그 때의 상황에 맞게 그려보세요. 이 그림은 어디로 볼록이야? 위로 볼록이죠. 몇 살 때 급격한 변화가 있었던 거에요? 10살에서 11살. 다시 11살과 12살은 1년이라서 직선으로 그려봤어요. 그리고 급격한 하락을 했고, 다음 2년 차이라서 곡선으로 표현을 했고 아래로 볼록으로 그렸어요. 마지막으로 이것도 아래로 볼록이예요. 이것은 몇 살 때 갑자기 상승했어요? 16살 때. 여러분들이 이제 인생그래프를 그리는데, 앞서서 질문 하나만 할게요. 9살부터 13살까지 최고의 만족도는 몇 프로예요?

학생: 100프로.

선생님: 네, 100프로. 그게 바로 구간에서의 최대값입니다. 그럼 13살부터 16살까지 가장 인생에서 안 좋았던 점, 다시 말해서 그 구간의 최소값은 얼마예요?

학생: 0프로.

선생님: 네. 그러면 여러분들 활동지를 작성해보세요.

( 활동 )

선생님: 그럼 이제 발표해볼게요. 다 못한 친구들도 같이 보면서 작성합시다. 이것이 현숙이의 인생입니다. 굴곡이 심해 보이네요. 첫 번째 점에 대해서 말해봅시다.

학생: 4살, 유치원 입학, 만족도 50%. 5살, 친구랑 싸움, 마이너스 100%. 6살, 한글을 깨우침, 만족도 100%. 11살, 성적이 바닥까지 떨어짐, 만족도 마이너스 80%.

선생님: 지금 위로 볼록인 형태가 만들어지고 있네요. 그 다음.

학생: 14살, 중학교 입학, 만족도 50%. 16살, 시험을 못 봐서 여섯 번의 남산투어, 마이너스 50%. 17살, 고등학교 입학, 기대됨, 만족도 80%.

선생님: 현숙이가 나름대로 만족도에 대한 7가지 사건의 그래프를 그렸네요. 여기서 2번째 그래프를 칠판에 작성해보기 바랍니다. 그 다음에 수지가 발표해보도록 합시다. 수지의 인생그래프는 완만하네요. 자, 첫번째 사건.

학생: 4살, 할아버지가 돌아가심, 0%. 6살, 부산에서 이사옴, 슬픔, 마이너스 60%. 10살, 마음에 드는 친구들을 사귐, 60%. 11살, 가족과 태국으로 여행을 감, 기분이 매우 좋음. 12살, 강아지가 생김, 매우 좋음, 100%. 15살. 친척언니가 유학을 감, 슬픔. 17살, 고등학교를 입학함, 좋음, 50%.

선생님: 그럼 수지도 여기의 2번째 곡선식을 칠판에 그려보세요. 이제 직선 그래프에 대해서 발표를 해볼게요.

학생: 직선식 y는 ax+b에 6콤마 100, 5콤마 마이너스 100을 대입하면 a의 값은 200이 나오고 b는 마이너스 1100이 됩니다. 그래서 다시 쓰면 y는 200x-1100이 됩니다.

선생님: 잘했죠? 두 점을 이용해서 기울기를 구하고 한 점을 이용해서 b값을 구했습니다. 수지 설명 듣도록 하겠습니다.

학생: 2차함수 식 y=a(x-p) ²+q에 꼭지점 6콤마 마이너스 60을 대입하면 y=a(x-6) ²-60이 되고, 다른 점 10콤마 50을 대입하면 a값은 55/8이 됩니다. 그래서 식은 y=55/8(x-6) ²-60이 됩니다.

선생님: 잘했습니다. 여러분들도 작성 완료됐죠? 이번 시간에 인생그래프를 그려보니까 자신이 어떻게 살아왔는지 알 수 있을 것 같아요?

학생: 네.

선생님: 우리가 이번 시간에 한 것이 무엇이냐면, 2차함수의 실생활의 예도 들어보고 그것을 이용해서 자신의 인생그래프도 그려보면서 학습목표에 해당하는 내 자신에 대해 좀 더 알 수 있는 시간을 가져봤습니다. 또 참고로 수학이 진로에 어떻게 더 활용되는지 소개하고 마치도록 하겠습니다. 실제로 선생님처럼 직접적으로 수학을 가르치는 직업이 있을 수 있고요, 그 외에도 수학을 간접적으로 이용할 수 있는 부분이 있어요. 은행, 보험, 증권, 통계자료, 기타 등등 수학적 자료가 요구되는 직업이에요. 여러분이 수학에 흥미가 있고 계속 공부하고 싶다면 이쪽으로 가는 것도 좋겠어요. 그리고 또, 의학에서 CT촬영도 양방향에서 빛을 발사해서 빛이 투과되는 양에 따라서 하는 것으로 수학의 방정식을 이용해서 푸는 거예요. 여러분 차량용 네비게이션 알죠? 그것도 위성에서 수신되는 데이터를 가지고 차의 위치를 찾아주는 거예요. 수학도 이렇게 다양하게 활용이 될 수 있습니다. 수학 열심히 잘해야겠죠? 그럼 이번 시간 마치도록 하겠습니다. 인사합시다.

학생: 차렷. 경례. 안녕히 가세요.